Témoignage d’Hubert, enseignant collège/lycée chez Visiomath
Muriel, élève de seconde, me dit, un jour de juin :
« Je ne m’en sors jamais avec l’équation x^2=3, j’écris souvent x=3^2 mais je sais que ce n’est pas la bonne réponse »
Notre analyse Visiomath :
une première réponse serait « tu prend la racine carrée de chaque côté, et vu que √x^2 fait |x|, on transforme l’équation en |x|=√3 et on peut conclure »…
Une telle réponse présenterait plusieurs défauts :
1) trop longue pour Muriel qui, visiblement, a des difficultés en maths
2) Muriel sans doute besoin à la fois de comprendre et d’appliquer, mais là, le protocole est compliqué pour elle, car il est possible qu’elle ne maîtrise pas les |.|.
3) Muriel ne sait peut être plus très bien que que x^2 veut dire — bien que cela paraisse étonnant pour une élève de seconde ; mais on croit trop facilement que les notions évidentes pour nous le sont pour les élèves.
Cette analyse nous amène à la question : qu’est-ce que « comprendre » et en particulier qu’est-ce que « comprendre l’équation x^2=3 ». On peut penser à un puzzle, où l’image finale apparaît peu à peu
– déjà ici comprendre la notion d’équation : on cherche la valeur de x telle que x au carré vaut 3. On peut faire des essais à la calculatrice pour s’en rapprocher par tâtonnement. Comprendre que la solution sera un nombre « à virgule » peut être déjà une étape pour une élève qui n’a pas une bonne compréhension du concept. Trouver 1.732 est un bon départ. Entre ce point de départ et la théorie, il y a peut-être beaucoup de chemin à faire
– voir le résultat précédent sur la courbe de la fonction carré (en traçant des segments pour voir les deux antécédents de 3) est sans doute l’étape suivante, à condition de vérifier si l’élève a compris ce que signifie « courbe d’une fonction » : il faut peut être lui faire construire cette courbe point par point, sur le papier si l’on est en présentiel, sur GeoGebra si l’on est en visio
– quand l’élève a compris qu’il y a aussi une solution négative, on peut faire un rappel sur la règle des signes : peut-être qu’il y a un flou à cet endroit
– enfin et surtout l’objet √3 peut être vu comme abstrait. Peut-être qu’appliquer Pythagore pour trouver la hauteur d’un triangle équilatéral de côté 2 peut amener un peu de concret, si cela n’amène pas de complexité en plus…
Muriel étant en juin, et comme nous étions en juin, la première question c’est de voir son orientation : si elle n’a pas choisi la spécialité maths, on peut considérer x^2=3 dans une orientation plus pratique que théorique. Elle aura par exemple besoin de cela pour une augmentation de x% qui, répétée, provoque une augmentation de 200%. Mais si elle prend par exemple histoire, anglais et économie, on sait que cette dernière spécialité [économie] demande un niveau de formalisme mathématique assez solide.
Dans cette situation, pour Muriel, le professeur Hubert a préconisé un mini stage en petit groupe fin août pour se mettre au niveau dans tout ce qui concerne les calculs, pour des élèves non destinés aux mathématiques (Muriel au final prenait une orientation littéraire pour sa première) en vue de la discipline d’enseignement scientifique et de la vie de tous les jours. Il a aussi durant ce stage fait travailler Muriel et les trois autres élèves sur des tableurs Excel, avec en particulier le problème des 200% évoqué ci-dessus. Et, par es explications claires, il a rassuré Muriel sur l’équation que, pour sa propre estime, elle souhaitait quand même maîtriser !