Témoignage de Max, enseignant collège chez Visiomath
Tom, élève de quatrième, en décembre, me dit un jour :
« ¿? je comprend pour 9/11+3/11=12/11 ; mais pourquoi on peut pas faire 11/9+11/3 et dire que ça fait 11/12 aussi ?¿ »
Notre analyse Visiomath :
une première réponse serait “et bien, on ne peut ajouter deux fractions que lorsque le bas est le même, c’est tout, c’est comme ça”…
Une telle réponse présenterait plusieurs défauts :
- si jamais l’élève Tom est curieux d’esprit et fait partie des élève qui ont besoin de comprendre pour accepter d’appliquer, cette explication basique est mortelle
- en toute généralité, comprendre aide à éviter les erreurs lorsqu’on applique : si, par exemple, s’arrêter au feu rouge est pour vous juste une convention sans signification, vous risquez, un jour, étant pressé, de le griller ; si au contraire vous comprenez que le feu rouge aide à éviter les chocs entre les voitures, votre risque d’accident diminue déjà, le seul enjeu étant alors pour vous d’être pleinement attentif.
Cette analyse nous amène à la question : qu’est-ce que “comprendre” et en particulier qu’est-ce que “comprendre la mise au même dénominateur” ? On pourrait, en tant qu’enseignant, jongler entre plusieurs définitions de “comprendre”, en nous inspirant d’un auteur plutôt littéraire : Umberto Eco in « vertige de la liste » :
- comprendre c’est voir la notion comme un élément au sein d’un grand édifice
exemple ici : a/b est égal à a*(1/b) donc dans 9/11+3/11 vu comme 9*(1/11)+3*(1/11) on peut tout simplement factoriser par 1/11 et voilà ; - comprendre ça peut être aussi faire des liens avec des choses usuelles, connues
exemple ici :
* 9/11+3/11 peut être lu “9 onzièmes plus 3 onzièmes” et à l’instar de “9 pommes plus 3 pommes” on peut ajouter 9+3 : on utilise donc les mots
* on peut diviser des pizzas (rondes ou rectangulaires ou …) en 11 et “voir” ce que 9/11 représente (9 parts)- * on peut poser les divisions 9÷11 et 3÷11, les effectuer en remarquant le motif, et ajouter les résultats, et comparer avec 12÷11
- * on put visulaier facielent 9/2+3/2=12/2 soit en passant par le décimal soit en visualisant des demi-segments et généraliser pour les autres dénominateurs
Max étant en quatrième, ce questionnement est légitime, il est en train d’apprendre les bases. Si cette question reste silencieuse (s’il n’avait pas osé la poser ; s’il n’y avait pas pensé ; si le professeur l’avait envoyé balader) il aurait pu garder un flou. Ces flous, on les voit partout chez tous les élèves de tous les niveaux. Travailler la base quand c’est le moment : c’est salutaire.
Dans cette situation, pour Tom, le professeur Visiomath Max a préconisé de prendre le temps, durant plusieurs cours, d’aborder la problématique des fractions sous tous les angles possibles, faisant les liens entre les diverses écritures des fractions. À présent Tom peut,a vec ses mots, expliquer le cas échéant avec un camarade pourquoi 9/11+3/11=12/11 et pourquoi par contre on peut pas ajouter 9 et 3 dans 11/9+11/3 .