Témoignage de Nathalie, enseignante lycée chez Visiomath
Arthur, élève de seconde avec un projet spé maths première, me dit, un jour de février :
« Je ne sais jamais si c’est sqrt(a×b) ou sqrt(a+b) qui peut se simplifier »
Notre analyse Visiomath :
une première réponse serait « Et bien, c’est sqrt(a×b) que tu peux simplifier, et non pas l’autre avec + »…
Une telle réponse présenterait plusieurs défauts :
1) Une telle réponse contribue à ce climat de « mauvaise magie » dont les maths sont parfois auréolés : avec x ça « marche », avec + ça ne « marche » pas, comme si la rotation de 45° du symbole pouvait libérer ou empêcher une formule.
2) En cas de stress ou d’étourderie, une règle apprise par cœur, mais non comprise, risque d’être la première lésée.
3) Il est vraiment dommage de ne pas faire le lien avec le théorème de Pythagore.
Cette analyse nous amène à la question : qu’est-ce que « comprendre » et en particulier qu’est-ce que “comprendre simplifications sous les racines carrées” ? On pourrait, en tant qu’enseignant, jongler entre plusieurs définitions de “comprendre”, en nous inspirant d’une citation d’un auteur plutôt littéraire : François Cheng (le dit de Tyanyi, fin du chapitre 22).
« Les choses qu’ils touchaient acquéraient une présence et une saveur inconnues jusque-là, qu’eux seuls savaient révéler ».
– comprendre, c’est, donner une présence à une notion. Donc la mettre en lien avec d’autres notions. Ici, le lien est possible avec la puissance 1/2. En effet, bien qu’on ne puisse pas évoquer le ln à ce stade (qui permet une définition précise d’une puissance non entière), on peut jongler avec (a^b)^c pour donner sens à ce lien √<->^(1/2). Puis faire le lien avec (axb)^n=a^n*b^n et comme ça, la formule √(ab)=√(a)√(b) prend sens.
– comprendre, c’est, « toucher » une notion pour la rendre vivante, et ici, l’expression √(a+b) « touche » un résultat très connu qui est celui de Pythagore; En prenant le triangle basique (3,4,5) on voit bien que √(9+16) est la longueur du troisième côté et ne saurait aucunement valoir √(9)+√(16).
– comprendre c’est « toucher » et donc peut être revenir à l’essentiel : si uu=a alors u=√a et si vv=b alors v=√b et donc √(a)√(b) est uv d’un côté, et de l’autre √(ab) est √(uuvv) soit √(uvuv) soit √((uv)(uv)) soit uv et c’est ici l’associativité/commutatitivité du produit des nombres qui permet la formule.
– on peut aussi revenir sur √12=2√3 et le faire vérifier numériquement sur la calculatrice ; cela renforce la confiance en la formule √(ab)=√a√b
Arthur étant en seconde avec un projet spé maths première, la problématique est à rémédier urgemment.
Dans cette situation, pour Arthur, la professeur Nathalie a rédigé un petit qcm constitué de 20 questions d’algèbre du même acabit pour faire le point sur les lacunes (racines, fractions, petites équations, identités remarquables etc). Ensuite, elle a pris le temps d’expliquer selon chacune des trois pistes évoquées ci-dessus. Elle a préparé des exercices ave des puissances 1/2 voire 1/3 très simples sur des résultats numériques qui tombent juste ; et des exercices variés où un long calcul aboutissait à devoir simplifier des √, « dans le cœur de l’action », pour voir si, quand son attention n’était pas spécialement amenée sur cette formule là, Arthur avait quand même le bon réflexe. Nathalie s’est ensuite noté de donner régulièrement à Arthure quelques minutes de calcul mental en début de séance, surtout si elle doit suivre Arthur l’an prochain pour sa première.