Témoignage de Thierry, enseignant collège/lycée chez Visiomath
Lisa, élève de prépa MP*, me dit, un jour de janvier :
« sur l’anneau (ℤ/4ℤ,+,×) on me dit que le polynôme 2*X*(X+1) possède 4 racines mais il est de degré 2, comment serait-ce possible ? »
Notre analyse Visiomath :
Lisa a bien intégré que, « en général », un polynôme de degré n possède au plus n racines. C’est le moment de faire la lumière sur la précision nécessaire à ce résultat : c’est vrai dans un anneau intègre. Très intéressante cette question, qui pourrait piéger certains agrégatifs, car on a un contre exemple d’un polynôme de degré 2 possédant 4 racines, c’est-à-dire tout l’anneau. On pourra même lui donner un exemple similaire dans un anneau infini.
– on voit ici que, plus on monte en niveau, plus la pédagogie devient mathématique : il s’agit moins de trouver des images mentales, des métaphores, que de manipuler les objets mathématiques eux-mêmes pour en extraire la moëlle ;
– au fait, est-ce que Lisa sait démontrer que dans K[X] un polynôme de degré n a a plus n racines ? On peut lui faire une lumière sur les anneaux euclidiens et voir le lien. (division eudlidienne de P(X) par X-lambda) On peut uassi le démontrer par identité remarquable a^n-b^n=…
– On peut donc si Q(X) est le polynome annoncé, factoriser Q(X)=(X-1)*U(X) et là, comprendre, par non-intégrité de l’anneau ambiant, que les racines 0,2,3 qui annulent aussi Q, n’annulent pas forcément U
– on peut remarquer que les polynomes 0, 2*X*(X+1), X^4*(X^4-1) ont les mêmes racines mais ne sont pas pour autant les mêmes polynomes : cela permet de « décoller » les polynomes de A[X] de l’application A->A associée
– enfin, l’anneau de Boole (parties(E), inter, ∆) où E est un ensemble, parties(E) l’ensemble de ses parties et ∆ l’union disjointe, donne un bon contre exemple en prenant E infini et P(X)=X+X ou Q(X)=X^2+X qui sont nuls partout !
Cette analyse nous amène à la question : qu’est-ce qu’un polynôme :
– définir l’indéterminée X dépasse le niveau de la prépa (extension de corps)
– parler de suite finie est une bonne idée
– bien clarifier la différence entre un polyôme de A[X] et l’application A->A associée
Dans cette situation, pour Lisa, le professeur Thierry a pris son parti de faire un éventuel hors-programme, puisque Lisa suivait bien, en parlant d’anneau principal, il a même donné à voir la démonstration A[X] principal <=> A corps. Thierry a ensuite repris avec Lisa les deux démonstrations possibles que « P(y)=0 <=> P(X) se factorise par X-y » et montré pourquoi, si A est un corps, cela limite le nombre de racines. Thierry a pris le temps de bien éplucher avec Lisa le contre exemple fourni par elle et montré l’anneau de Boole. Puis Thierry et Lisa ont travaillé ensemble sur un long problème sur les anneaux de Boole, fourni par Thierry.