Témoignage de Vincent, enseignant collège/lycée chez Visiomath
Estéban, élève de 1ere spé maths, me dit, un jour de janvier :
« ¿? je n’arrive pas à faire la différence entre f(2) et f ‘(2) ?¿ »
Notre analyse Visiomath :
La dérivée : c’est sans doute le concept le plus difficile à saisir dans la spécialité maths du lycée. Derrière l’apparente et trompeuse similitude de ces deux notations f(2) et f’(2), plusieurs niveaux de complexité se superposent.
Déjà, il faut que la notation f(2) (l’image) soit parfaitement comprise. Ensuite il faut que la notion de coefficient directeur d’une droite soit maîtrisée. Après, il y a le calcul théorique de la dérivée de ax+b, x2,1/x,√x,par le taux d’accroissement. Puis le lien avec la tangente et avec les variations. Tout cela avant l’utilisation « pratique » des tables de dérivées pour étudier une fonction. Tant de notions derrière une seule petite notation.
Cette analyse nous amène à la question : comment tisser des liens entre ce qu’un élève sait déjà, et un nouveau concept ambitieux ?
– on peut trouver des images. Je propose celle-ci, naïve et critiquable ; néammoins elle peut donner sens au début : le nombre dérivé c’est la température du cycliste. Plus la fonction croît, plus le cycliste transpire et a donc chaud ; plus elle décroît plus il doit garder la tête froide à cause de la vitesse qu’il prend…
– on peut étudier des fonctions affines par morceaux, en réduisant peu à peu la taille des intervalles : l’idée peut se faire progressivement chez l’élève, du lien entre coefficient directeur et la variation de la fonction
– la géométrie dynamique peut aider à voir la corde qui se « rapproche » de la tangente
– « simplifie le quotient [(x+h)^2-x^2]/h jusqu’à ce que tu puisses remplacer h par zéro peut être un exercice intermédiaire intéressant
– un certain sentiment de « magie » peut être éprouvé si l’on donne à remplir le tableau de valeurs de f(x)=3x^2/2+x et celui de g(x)=3x+1, puis à tracer les tangentes de Cf manuellement en divers points et voir que g(x) donne leur coefficient directeur : l’élève peut alors être mobilisé par l’envie de savoir d’où vient cette formule ; cela peut motiver le calcul du taux de variations
C’est un chapitre où tous les trésors d’imagination pédagogique doivent se déployer. On est au cœur de l’analyse.
« Saisir », comme un joueur de base-ball saisit la balle… « saisir » c’est le moment magique et furtif où la lumière se fait. C’est le travail, ou plutôt l’art de l’enseignant, que d’amener l’élève au point ou il va pouvoir « saisir ».
Estéban étant en 1ere spé maths, et vu qu’on est en janvier, il a dû louper le coche. Une idée serait de lui faire pratiquer des études de fonction, afin qu’il se « fasse la main » en utilisant simplement les tableaux de dérivées usuelles, sur des fonctions polynômes ou homographiques. Il peut faire le lien entre le tableau obtenu et la courbe de la fonction. Ainsi, il voit que cela « fonctionne » : il est mis en confiance. Idem pour la formule de la tangente, qu’il peut tracer sur sa calculatrice et vérifier le contact avec la courbe. Ensuite, on procède à rebours du programme : une fois qu’il est bien assuré, on lui montre comment par le calcul, le nombre dérivé de x^2 est 2x, et on essaie de lui donner la théorie qu’il peut prendre. On n’ira peut être pas pour le moment jusqu’aux exercices subtils où l’on doit comprendre Cf à partir de la courbe de f ’. On laissera cela pour la terminale avec la convexité.
Dans cette situation, pour Estéban, le professeur Vincent a préconisé de rallonger à 1h30 les deux cours hebdomadaires habituels avec cet élève, car Estéban a une capacité de concentration qui lui permet de tenir 1h30 de visio sans problème. Pendant ces deux demi-heures supplémentaires, Vincent fait pratiquer son élève sur les études de fonctions et formules de la tangente, et ce pendant deux semaines. Puis, pendant la troisième semaine, vient peu à peu, comme indiqué précédemment, sur la théorie du nombre dérivé. Ensuite, on revient aux deux heures hebdomadaires et Vincent donne chaque semaine à Estéban un exercice complet, avec la consigne de le rédiger du mieux possible : on va en profiter pour travailler la rédaction et la présentation des calculs.