Témoignage de Guillaume, enseignant lycée/prépa chez Visiomath
Djamila, élève de prépa PCSI, me dit, un jour de février :
« ¿?
pendant le cours sur les espaces vectoriels, on m’a dit que ℝ_2[X] et ℝ^3 sont isomorphes.
Mais comment est-ce possible puisque dans ℝ_2[X] on a la dérivation, inexistante dans ℝ^3.
Et qu’a contrario dans ℝ^3 on a le produit vectoriel, qui n’a pas de sens dans ℝ_2[X]
?¿ »
Notre analyse Visiomath :
La question de Djamila est très intéressante, elle témoigne d’un besoin d’éclaircissement sur le fait qu’un espace vectoriel est une sorte de fenêtre sur un espace ayant parfois d’autres propriétés. Si le professeur arrive à éclaircir cette question, ce sera une grande source de compréhension pour Djamila pour la suite sur la notion de structure.
Cette analyse nous amène à la question : qu’est-ce qu’un espace vectoriel ?
– la première intuition est qu’un espace vectoriel, « c’est R^n ». Tout simplement parce que c’est là que (dès la seconde dans le plan, dès la terminale pour l’espace) l’élève a découvert les vecteurs, avec les propriétés suivantes : addition des vecteurs et multiplication par un scalaire, gestion des coordonnées des vecteurs. La notion de vecteur et de scalaire peut déjà être déclinée avec R^n. Le produit scalaire sera axiomatisé plus tard.
– la seconde intuition est que dans de nombreux « espaces », les « objets » peuvent être décrits avec des coordonnées (polynômes, matrices…).
– la troisième est que parfois, les coordonnées ne peuvent exister (espaces de fonctions)
– ces intuitions étant posées, la définition axiomatique d’un e.v. peut être comprise, et appliquer à ces 4 grands espaces classiques décrits précédemment (R^n, Rn[X], Mn,p(R) et les espaces de fonctions). La notion fondamentale ici va être celle d’isomorphisme.
– et maintenant l’idée de « fenêtre » évoquée ci-dessus doit être clarifiée : on ne regarde que la structure e.v. des espaces en question, tous différents cependant par la nature des objets qui les composent : et là, on peut donner force exemples sur des applications, linéaires ou pas, propres à chaque espace. En somme, on va montrer à Djamila que chaque espace vectoriel possède ses outils propres, bien que, au niveau de la loi + et de la loi externe *, ils puissent être isomorphes entre eux
Djamila étant en PCSI, fera moins de théorie qu’un étudiant se destinant à une MP*. On va surtout donc utiliser des exemples. On est en février, début du second semestre, donc elle vient de voir la notion. C’est le moment de l’aider à organiser avec précision sa visio mathématiques de ce nouveau concept.
Dans cette situation, pour Djamila, le professeur Thibaut a utilisé 30 minutes de son cours hebdomadaire avec cette étudiante pour montrer, comme on décrirait un paysage, la spécificité de chacun des grands espaces évoqués (R^n : produit scalaire usuel, produit vectoriel dans R^3 ; Rn[X] : multiplication des polynomes, dérivation/primitivation, notion de degré, de valuation, image d’un réel ; Mn,p(R) : produit matriciel, déterminant, trace, image d’un vecteur ; fonctions continues : intégrale sur un segment, courbe…). Ensuite, Thibaut a montré à Djamila des problèmes d’annales manipulant divers espaces vectoriels. Ils ont fait ensemble les premières questions de chaque sujet proposé.