Témoignage d’Hélène, enseignant prépa chez Visiomath
Florent, élève de prépa MPSI, me dit, un jour de novembre :
« ¿? Cette semaine on a vu les axiomes des groupes. Mais sans exemple c’est pas facile. Tu aurais des exemples variés de petits groupes afin qu’on puisse regarder un peu ces notions : ordre d’un élément ; sous-groupes ; résolution de x^2=e ; … ?¿ »
Notre analyse Visiomath :
Florent a sans doute compris la théorie, mais ce chapitre est tellement nouveau qu’il peut en être déconcertant. De nombreux étudiants de MP voire de L3 à l’université, voire des candidats à l’Agrégation, lorsqu’on leur demande des exemples de petits groupes, sont en panne d’inspiration. C’est donc une très bonne idée ici de donner de multiples exemples à Florent, qui a la lucidité de le demander lui-même.
Et donc, quels exemples de groupe peut on donner à un étudiant de première année ?
– on pourrait, en tant qu’enseignant, se faire la liste de toutes les structures de groupes d’ordre « petit » : Boole (=Z/2Z), Z/3Z, puis à l’ordre 4 : Z/4Z, Klein, (Z/2Z)^3 puis à l’ordre 6 : Z/6Z, S3, puis à l’ordre 8 : Z/8Z, Boole x Klein, D4, Q8 ; et rajouter les gorupes infinis usuels : Z,Q,Z
– mais ce qui serait intéressant ce serait, pour dégager l’idée de « structure », de donner, pour chaque structure, plusieurs groupes : pour « Boole » : (Z/2Z,+), ({-1,+1},x), ({+,-}, règle des signes), (symétries d’un segment, °), (rotations d’un rectangle, °). en particulier les exemples géométriques sont significatifs. Mais aussi par exemple pour les infinis : les matrices ((1,n),(0,1)) avec le produit matriciel
Florent étant en MPSI, et vu qu’on est en novembre, il découvre les groupes, c’est le moment de l’aider à consolider sa découverte du sujet.
Dans cette situation, pour Florent, le professeur Hélène a préparé un joli formulaire de tous les groupes d’ordre 2 évoqués ci-dessus. Elle a ensuite demandé à Florent, de prendre des notes les plus détaillées possibles de tout ce qu’elle lui montrait, et lui a proposé qu’il réalise lui-même un formulaire pour chaque structure de groupe. Elle a expliqué le mot « structure » comme étant un « ensemble » de groupes isomorphes entre eux. Florent pourra, par la suite, dans ses études, se référer à ces formulaires à chaque exercice concernant les groupes. Cela éclairera beaucoup sa compréhension des structures algébriques. Il suivra sans doute de lui-même la même démarche pour les anneaux.
image : pixabay vectoriels